Tema 6: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

Conceptos Básicos

Una ecuación diferencial de orden superior es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de orden mayor o igual a dos:

F (x, y, y^{'}, y^{″}, . . ., y^{(n)}) = 0

El PVI y el Teorema de Existencia y Unicidad
Un problema de valores iniciales (PVI) de orden superior para EDOs lineales es una ecuación diferencial lineal junto con los valores de la incógnita y sus $n - 1$ primeras derivadas en un punto, según el siguiente esquema:

{\begin{cases} y^{(n)} = F (x, y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)}) \\ y (x_{0}) = y_{0} \\ y^{'} (x_{0}) = y_{1} \\ ⋮ \\ y^{(n - 1)} (x_{0}) = y_{n - 1} \end{cases}

El teorema de existencia y unicidad establece que si exigimos ciertas condiciones de continuidad para $F$ entonces existe una única solución que satisface estas condiciones iniciales.

Se dice que una ecuación es lineal, si tiene la forma:

a_{n} (x) y^{(n)} + a_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = g (x),

donde los coeficientes $a_{i} (x)$ pueden ser funciones de $x$ , y $g (x)$ es el término no homogéneo.

Si $g (x) = 0$ , la ecuación es homogénea. Si las funciones $a_{n} (x), a_{n - 1} (x), . . ., a_{0} (x)$ son todas constantes, se dice que la EDO es de coeficientes constantes. En caso contrario, se dice que la EDO es de coeficientes variables.

Ejemplos:

$4 y^{″} + 7 x y^{'} - \sqrt{x} y = x^{4}$
$4 y^{‴} + 3 y^{″} - y^{'} + 7 y = 0$
$7 x^{3} y^{‴} + 8 x^{2} y^{″} - e^{x} x y^{'} + \frac{y}{x} = 0$
$9 y^{″} + y + \ln (x) = 0$

En lo que sigue, vamos a centrarnos en ecuaciones lineales con coeficientes constantes

a_{n} y^{(n)} + a_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = g (x),

Wronskiano y el EDOs lineales homogéneas

Definición: Se dice que un conjunto de funciones $f_{1} (x), f_{2} (x), . . ., f_{n} (x)$ es linealmente dependiente en un intervalo I si existen unas constantes $c_{1}, c_{2}, . . ., c_{n}$ no todas nulas tales que

c_{1} f_{1} (x) + c_{2} f_{2} (x) + . . . + c_{n} f_{n} (x) = 0.

En caso contrario decimos que el conjunto $f_{1} (x), f_{2} (x), . . ., f_{n} (x)$ es linealmente independiente. Caso particular de functional dependence.

Ejemplo. Decidir si el conjunto formado por las funciones $f_{1} (x) = x + 2$ y $f_{2} (x) = x - 2$ , es linealmente independiente. $◼$

Ejemplo. Comprobar si el conjunto formado por las funciones $f_{1} (x) = x (1 - x)$ , $f_{2} (x) = x^{2} (1 - x)$ y $f_{3} (x) = x (1 - x)^{2}$ , es linealmente independiente. $◼$

El Wroskiano de un conjunto de funciones $y_{1}, y_{2}, . . ., y_{n}$ se define como el determinante:

W (y_{1}, y_{2}, . . ., y_{n}) = | \begin{matrix} y_{1} & y_{2} & \dots & y_{n} \\ y_{1}^{'} & y_{2}^{'} & \dots & y_{n}^{'} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ y_{1}^{(n - 1)} & y_{2}^{(n - 1)} & \dots & y_{n}^{(n - 1)} \end{matrix} |

Teorema. Si $W \neq 0$ , las funciones son linealmente independientes. $◼$

Definición. Se denomina sistema fundamental de soluciones (SFS) de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden $n$ a cualquier conjunto de $n$ soluciones linealmente independientes.

Ejemplo. Demostrar que $y_{1} (x) = e^{x}$ y $y_{2} (x) = e^{9 x}$ es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación $y^{″} - 10 y^{'} + 9 y = 0$ .

Teorema (Principio de superposición lineal). Sea ${y_{1}, y_{2}, . . ., y_{n}}$ un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea. Entonces la solución general es

y (x) = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) + \dots + C_{n} y_{n} (x),

donde $C_{1}, C_{2}, . . ., C_{n}$ son constantes arbitrarias.

Ejemplo. La solución general de $y^{″} - 10 y^{'} + 9 y = 0$ es $y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{9 x}$ .

Teorema. Sea $y_{p}$ una solución particular de una ecuación diferencial lineal no homogénea, y ${y_{1}, y_{2}, . . ., y_{n}}$ un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada. Entonces la solución general de la ecuación no homogénea es

y (x) = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) + \dots + C_{n} y_{n} (x) + y_{p} (x),

donde $C_{1}, C_{2}, . . ., C_{n}$ son constantes arbitrarias e $y_{p} (x)$ es una solución particular de la ecuación no homogénea.

Ejemplo. Buscar una solución del problema de valores iniciales

{\begin{cases} y^{″} - 10 y^{'} + 9 y = 9 \\ y (0) = 1 \\ y^{'} (0) = 1 \end{cases}

sabiendo que $y_{p} (x) = 1$ es una solución particular de la EDO.

Ecuaciones Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes

Vamos a empezar por el caso más sencillo, $y^{″} + b y^{'} + c y = 0$ . Suponemos que la solución tiene la forma $y = e^{λ x}$ , donde $λ$ es un número complejo a determinar. Sustituyendo en la ecuación, obtenemos:

λ^{2} e^{λ x} + b λ e^{λ x} + c e^{λ x} = 0

Dividiendo por $e^{λ x}$ (que no es cero), obtenemos la llamada ecuación característica:

λ^{2} + b λ + c = 0

Denotamos sus raíces como $λ_{1}$ y $λ_{2}$ , y se tienen los siguientes casos:

Caso 1: $λ_{1}$ y $λ_{2}$ son reales y diferentes. En este caso el SFS es

y_{1} (x) = e^{λ_{1} x}, y_{2} (x) = e^{λ_{2} x}

y la solución general de la ecuación $y (x) = C_{1} e^{λ_{1} x} + C_{2} e^{λ_{2} x}, C_{1}, C_{2} \in R$ .

Caso 2: $λ_{1} = λ_{2}$ es real. En este caso el SFS es

y_{1} = e^{λ_{1} x}, y_{2} (x) = x e^{λ_{1} x},

y la solución general de la ecuación $y (x) = C_{1} e^{λ_{1} x} + C_{2} x e^{λ_{1} x}, C_{1}, C_{2} \in R$ .

Caso 3: $λ_{1}$ y $λ_{2}$ son complejas conjugadas. Podemos escribirlas como

λ_{1} = α + i β, λ_{2} = α - i β .

En este caso el SFS es

y_{1} (x) = e^{α x} \cos (β x), y_{2} (x) = e^{α x} sen (β x) .

Y la solución general de la ecuación viene dada como

y (x) = C_{1} e^{α x} \cos (β x) + C_{2} e^{α x} sen (β x), C_{1}, C_{2} \in R .

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial $y^{″} + 2 y^{'} - 3 y = 0$ .

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial $y^{″} - 4 y^{'} + 4 y = 0$ .

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial $y^{″} - 2 y^{'} + 2 y = 0$ .

La técnica arriba explicada para ecuaciones de segundo orden, puede extenderse fácilmente a orden superior. Vamos a ver unos ejemplos:

Ejemplo: Buscar la solución general de la ecuación de tercer orden
$y^{‴} + y^{″} + y^{'} - 3 y = 0$ .

Ejemplo: Buscar la solución general de la ecuación de tercer orden
$y^{‴} - 3 y^{″} + 3 y^{'} - y = 0$ .

Ejemplo: Buscar la solución general de la ecuación de cuarto orden
$y^{(i v)} - 2 y^{″} + y = 0$ .

Ecuaciones Lineales No Homogéneas con Coeficientes Constantes

Consideramos la ecuación

y^{″} + b y^{'} + c y = f (x) .

De acuerdo con lo que vimos en la sección anterior tenemos que si conocemos un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada, basta con determinar una solución particular de la no homogénea para conocer su solución general.

Introducimos, a continuación, dos métodos para determinar soluciones particulares de la ecuación anterior.

Método de Variación de Constantes

Este método es más general y se puede aplicar a cualquier ecuación lineal no homogénea, siempre que se conozca un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada.
Pasos:

Propón una solución particular de la forma $y_{p} (x) = u_{1} (x) y_{1} (x) + u_{2} (x) y_{2} (x)$ , donde $u_{1} (x)$ y $u_{2} (x)$ son funciones desconocidas.
Impón la condición auxiliar

u_{1}^{'} (x) y_{1} (x) + u_{2}^{'} (x) y_{2} (x) = 0

para simplificar el cálculo de las derivadas.
3. Sustituye $y_{p} (x)$ , $y_{p}^{'} (x)$ y $y_{p}^{″} (x)$ en la ecuación original. Se obtiene un sistema sencillo que permite resolver para $u_{1}^{'} (x)$ y $u_{2}^{'} (x)$ .
4. Integra $u_{1}^{'} (x)$ y $u_{2}^{'} (x)$ para encontrar $u_{1} (x)$ y $u_{2} (x)$ . Finalmente, sustitúyelos en

y_{p} (x) = u_{1} (x) y_{1} (x) + u_{2} (x) y_{2} (x)

para obtener la solución particular.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial:

y^{″} - 5 y^{'} + 4 y = e^{x} + 1.

Ejemplo: Resolver el problema de valores iniciales:

{\begin{cases} y^{″} - 4 y^{'} + 4 y = x \\ y (0) = 1 \\ y^{'} (0) = - 1 \end{cases}

Método de los Coeficientes Indeterminados

Este método es más sencillo, pero solo se puede aplicar a ecuaciones no homogéneas donde $f (x)$ tiene una forma específica (polinomios, exponenciales, senos, cosenos o combinaciones de estos).
Pasos:

Basándote en la forma de $f (x)$ , propón una solución particular $y_{p} (x)$ con coeficientes indeterminados.

$f (x)$	Forma de $y_{p} (x)$ propuesta
$a x + b$	$A x + B$
$a x^{2} + b x + c$	$A x^{2} + B x + C$
$e^{a x}$	$A e^{a x}$
$e^{a x} (b x + c)$	$e^{a x} (A x + B)$
$\sin (b x)$ o $\cos (b x)$	$A \cos (b x) + B \sin (b x)$
$x^{m} e^{a x}$	$e^{a x} (A_{m} x^{m} + . . . + A_{0})$
$x^{n} \sin (b x)$ o $x^{n} \cos (b x)$	$x^{n} (A \cos (b x) + B \sin (b x))$

Calcula $y_{p}^{'} (x)$ e $y_{p}^{″} (x)$ . Sustituye $y_{p} (x)$ , $y_{p}^{'} (x)$ e $y_{p}^{″} (x)$ en la ecuación original.
Iguala los coeficientes de términos similares en ambos lados de la ecuación. Resuelve el sistema de ecuaciones resultante para encontrar los coeficientes indeterminados.
Sustituye los coeficientes encontrados en $y_{p} (x)$ .

Aplicaciones: Modelos de Movimientos Vibratorios

Movimiento Armónico Simple

Un sistema masa-resorte sin fricción satisface la ecuación:

m y^{″} + k y = 0

cuya solución es:

y (t) = A \cos (ω t) + B \sin (ω t)

donde $ω = \sqrt{k / m}$ .

Movimiento Amortiguado

Incluye un término de fricción:

m y^{″} + b y^{'} + k y = 0

Las soluciones dependen del discriminante $Δ = b^{2} - 4 m k$ .

Movimiento Forzado

Si hay una fuerza externa $F (t)$ :

m y^{″} + b y^{'} + k y = F (t)

Las soluciones incluyen la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria.