Tema 6: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

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Conceptos Básicos

Una ecuación diferencial de orden superior es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de orden mayor o igual a dos:

F (x, y, y^{'}, y^{″}, . . ., y^{(n)}) = 0

Un problema de valores iniciales (PVI) de orden superior para EDOs lineales es una ecuación diferencial lineal junto con los valores de la incógnita y sus $n - 1$ primeras derivadas en un punto, según el siguiente esquema:

{\begin{cases} y^{(n)} = h (x, y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)}) \\ y (x_{0}) = y_{0} \\ y^{'} (x_{0}) = y_{1} \\ ⋮ \\ y^{(n - 1)} (x_{0}) = y_{n - 1} \end{cases}

Ejemplo. Problema estándar de física: segunda ley de Newton para construir una ecuación diferencial, y condiciones iniciales.

{\begin{cases} m x^{″} = - m g + k x + \dots + F (x) \\ x (0) = 3 \\ x^{'} (0) = 1 \end{cases}

a) Gravedad constante
b) Ley de Gravitación universal, hacer con lowering order by chain rule.

El teorema de existencia y unicidad establece que si exigimos ciertas condiciones de continuidad para $F$ entonces existe una única solución que satisface estas condiciones iniciales.

Se dice que una ecuación es lineal, si tiene la forma:

a_{n} (x) y^{(n)} + a_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = g (x),

donde los coeficientes $a_{i} (x)$ pueden ser funciones de $x$ , y $g (x)$ es el término no homogéneo.

Si $g (x) = 0$ , la ecuación es homogénea. Si las funciones $a_{n} (x), a_{n - 1} (x), . . ., a_{0} (x)$ son todas constantes, se dice que la EDO es de coeficientes constantes. En caso contrario, se dice que la EDO es de coeficientes variables.

Ejemplos:

$4 y^{″} + 7 x y^{'} - \sqrt{x} y = x^{4}$
$4 y^{‴} + 3 y^{″} - y^{'} + 7 y = 0$
$7 x^{3} y^{‴} + 8 x^{2} y^{″} - e^{x} x y^{'} + \frac{y}{x} = 0$
$9 y^{″} + y + \ln (x) = 0$

En lo que sigue, vamos a centrarnos en ecuaciones lineales con coeficientes constantes

a_{n} y^{(n)} + a_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = g (x),

y, en particular, en aquellas de orden 2.

EDO homogéneas con coeficientes constantes

Una EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma

a y^{″} (x) + b y^{'} (x) + c y (x) = 0,

donde $a$ , $b$ y $c$ son constantes. Para resolverla se construye la ecuación característica

a r^{2} + b r + c = 0,

cuyas raíces $r$ determinan la solución general:

Raíces del polinomio	Solución general
Dos raíces reales distintas $r_{1} \neq r_{2}$	$y (x) = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$
Una raíz real doble $r_{1} = r_{2} = r$	$y (x) = C_{1} e^{r x} + C_{2} t e^{r x}$
Raíces complejas $r = α \pm i β$	$y (x) = e^{α x} [C_{1} \cos (β x) + C_{2} \sin (β x)]$

EJEMPLOS: resuelve las siguientes EDOs lineales homogéneas
a)

x^{″} + 5 x^{'} + 6 x = 0

x^{″} + 4 x^{'} + 4 x = 0

x^{″} + 2 x^{'} + 5 x = 0

EDOs no homogéneas (coeficientes indeterminados)

a y^{″} (x) + b y^{'} (x) + c y (x) = f (x),

Solamente necesitamos una solución particular $y_{p}$ , pues la solución general será

y = y_{h} + y_{p},

donde $y_{h}$ es la solución general de la homogénea. Piénsalo.

Basándonos en la forma de $f (x)$ , lo que hacemos es proponer una solución particular $y_{p} (x)$ con coeficientes pendientes de determinar, siguiendo esta tabla:

$f (x)$	Forma de $y_{p} (x)$ propuesta
$a x + b$	$A x + B$
$a x^{2} + b x + c$	$A x^{2} + B x + C$
$e^{a x}$	$A e^{a x}$
$e^{a x} (b x + c)$	$e^{a x} (A x + B)$
$\sin (b x)$ o $\cos (b x)$	$A \cos (b x) + B \sin (b x)$
$x^{m} e^{a x}$	$e^{a x} (A_{m} x^{m} + . . . + A_{0})$
$x^{n} \sin (b x)$ o $x^{n} \cos (b x)$	$x^{n} (A \cos (b x) + B \sin (b x))$

OJO: Si la forma propuesta para $y_{p} (x)$ resulta ser una solución de la ecuación homogénea, entonces debemos multiplicarla por $x$ (o por una potencia mayor de $x$ ) hasta obtener una función que no sea solución de la homogénea.

EJEMPLO: resuelve las siguientes EDOs

x^{″} + 3 x^{'} + 2 x = e^{t}

Tenemos que encontrar:

Solución de la homogénea
Solución Particular: el término de la derecha es $e^{t}$ ; proponemos $x_{p} = A e^{t}$ .

Aplicaciones físicas

a) Movimiento armónico simple.
Movimiento oscilatorio: cualquier situación en la que haya una fuerza opuesta a la distancia al punto de equilibrio. Por ejemplo, un muelle. El sistema resultante recibe el nombre de oscilador armónico simple libre, y la ecuación de movimiento, obtenida a partir de $F = m a$ , es

m x^{″} + k x = 0

con $k$ una constante positiva característica del sistema y $m$ la masa del objeto. La función $x = x (t)$ representa la distancia al punto de equilibro.
Caso especial: peso colgando de un muelle. En tal caso tendríamos dos fuerzas, la del muelle y la de la gravedad:

m x^{″} = - k x + m g .

Pero en realidad se trata del mismo caso, lo único que cambia es que tenemos un nuevo punto de equilibrio, separado una distancia $l$ del anterior. En ese punto se cumple que

Peso = Fuerza restauradora

es decir, $m g = k l$ . Luego podemos cambiar la variable $x$ , distancia al antiguo punto de equilibro, por la nueva variable $y$ , distancia al nuevo punto de equilibro. Se cumple que $y (t) = x (t) - l$ . Así pues

m x^{″} = - k x + m g .

m y^{″} = - k (y + l) + m g = - k y .

EJEMPLO: Un cuerpo de 3kg se suspende, sin velocidad inicial, de un muelle con constante $k = 2$ , a $25 c m$ por debajo del punto de equilibro. Calcula la ecuación de movimiento, resuélvela y dibújala. ¿A qué distancia del punto de equilibro se encontrará a los 4 segundos?

b) Oscilador amortiguado
Supongamos ahora que introducimos el rozamiento con el aire. Tendremos una ecuación de la forma:

m x^{″} + β x^{'} + k x = 0

donde $β$ es una constante positiva.

EJEMPLO: Un cuerpo de 3kg se suspende, sin velocidad inicial, de un muelle con constante $k = 2$ , a $25 c m$ por debajo del punto de equilibro. El coeficiente de rozamiento es $β = 1$ . Calcula la ecuación de movimiento, resuélvela y dibújala. ¿A qué distancia del punto de equilibro se encontrará a los 4 segundos?

Prueba diferentes valores del coeficiente de rozamiento para ver cómo afecta a la trayectoria del objeto colgante (por ejemplo, el medio puede ser aire o agua).

EJEMPLO: Imagina un niño en un columpio, con una masa de $25 k g$ , y cuya proyección sobre el eje $x$ sigue un movimiento armónico de constante $k = 150$ . El punto de equilibrio está en $x = 0$ . Considera que el rozamiento con el aire y de las bisagras del columpio dan lugar a un coeficiente $β = 10$ . Representa el movimiento del niño durante 15 segundos, si parte del reposo con un desplazamiento inicial de $0.8 m$ . ¿En qué posición se encontrará a los 8 segundos?

c) Oscilador forzado y amortiguado
En caso de que introduzcamos una fuerza externa $F (t)$ tendremos

m x^{″} + β x^{'} + k x = F (t) .

Puedes imaginar un columpio (objeto oscilante) al que le empujamos con una fuerza variable $F (t)$ .

EJEMPLO: Imagina un niño en un columpio, con una masa de $25 k g$ , y cuya proyección sobre el eje $x$ sigue un movimiento armónico de constante $k = 150$ . El punto de equilibrio está en $x = 0$ . Considera que el rozamiento con el aire y de las bisagras del columpio dan lugar a un coeficiente $β = 10$ . Ahora imagina que introducimos una fuerza $\cos (\sqrt{(} 149) t / 5)$ . Representa el movimiento del niño durante 50 segundos, si parte del reposo con un desplazamiento inicial de $0.8 m$ .

Ejercicios de la hoja:

Obtener la solución general de la ecuación diferencial dada:

(a) $3 y^{″} - y^{'} = 0$
(b) $2 y^{″} + 5 y^{'} = 0$
(c) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 8 \frac{d y}{d x} + 16 y = 0$
(d) $y^{″} + 3 y^{'} - 4 y = 0$
(e) $y^{″} + y^{'} + y = 0$
(f) $y^{″} + y = 0$

Resolver los problemas de valores iniciales:

(a)

{\begin{cases} y^{″} + 16 y = 0 \\ y (0) = 2, & y^{'} (0) = - 2 \end{cases}

(b)

{\begin{cases} y^{″} - 4 y^{'} - 5 y = 0 \\ y (1) = 0, & y^{'} (1) = 2 \end{cases}

Indicar, según la forma del término no homogéneo de la ecuación diferencial, la forma de la solución particular de la ecuación para el método de los coeficientes indeterminados (sin resolver la ecuación):

(a) Para $y^{″} - 4 y^{'} + 3 y = f (x)$ donde $f (x)$ es:

i. $f (x) = e^{2 x}$
ii. $f (x) = e^{x}$

(b) Para $3 y^{″} - y^{'} = f (x)$ donde $f (x)$ es:

i. $f (x) = 1$
ii. $f (x) = 5 e^{\frac{x}{3}}$
iii. $f (x) = x^{2} + 1$
iv. $f (x) = \cos (2 x)$

(c) Para $y^{″} + 8 y^{'} + 16 y = f (x)$ donde $f (x)$ es:

i. $f (x) = e^{- 4 x}$
ii. $f (x) = 3 e^{x}$
iii. $f (x) = 3$
iv. $f (x) = x$

(d) Para $y^{″} + y^{'} + y = f (x)$ donde $f (x)$ es:

i. $f (x) = \cos (\frac{\sqrt{3}}{2} x)$
ii. $f (x) = sen x$
iii. $f (x) = x$

EJEMPLO:

La solución general de la ecuación

y^{″} + y^{'} + y = \cos (\frac{\sqrt{3}}{2} x)

se obtiene como suma de la solución de la homogénea y de una solución particular.

La ecuación homogénea asociada es

y^{″} + y^{'} + y = 0,

con ecuación característica

r^{2} + r + 1 = 0 ⟹ r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2} .

Por tanto

y_{c} (x) = e^{- x / 2} (C_{1} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x + C_{2} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x) .

Buscamos

y_{p} (x) = A \cos (\frac{\sqrt{3}}{2} x) + B \sin (\frac{\sqrt{3}}{2} x) .

Calculemos sus derivadas (llamamos $ω = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ):

{\begin{cases} y_{p}^{'} = - A ω \sin (ω x) + B ω \cos (ω x), $ $ 6 p t] y_{p}^{″} = - A ω^{2} \cos (ω x) - B ω^{2} \sin (ω x) . \end{cases}

Sustituyendo en la ecuación:

y_{p}^{″} + y_{p}^{'} + y_{p} = (- A ω^{2} + B ω + A) \cos (ω x) + (- B ω^{2} - A ω + B) \sin (ω x) \overset{!}{=} \cos (ω x) .

Igualamos coeficientes:

{\begin{cases} - A ω^{2} + B ω + A = 1, \\ - B ω^{2} - A ω + B = 0. \end{cases}

Con $ω^{2} = 3 / 4$ , estas ecuaciones son

{\begin{cases} \frac{1}{4} A + \frac{\sqrt{3}}{2} B = 1, $ $ 4 p t] - \frac{\sqrt{3}}{2} A + \frac{1}{4} B = 0. \end{cases}

Resolviendo:

A = \frac{4}{13}, B = \frac{8 \sqrt{3}}{13} .

Por tanto

y_{p} (x) = \frac{4}{13} \cos (\frac{\sqrt{3}}{2} x) + \frac{8 \sqrt{3}}{13} \sin (\frac{\sqrt{3}}{2} x) .

Combinando homogénea y particular:

y (x) = e^{- x / 2} (C_{1} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x + C_{2} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x) + \frac{4}{13} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{8 \sqrt{3}}{13} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} x,

donde $C_{1}, C_{2}$ son constantes arbitrarias.

Resolver, mediante el método de los coeficientes indeterminados, la ecuación

y^{″} + y^{'} - 2 y = r (x),

donde $r (x)$ es:

(a) $r (x) = x^{2} + x$
(b) $r (x) = 5 e^{- 2 x}$
(c) $r (x) = - 3 e^{x}$
(d) $r (x) = 4 \cos x$

Una masa que pesa un kilo se suspende de un resorte cuya constante es de 4 kg/m. El amortiguamiento del sistema se supone despreciable. Se aplica una fuerza externa $F (t) = 1 - 2 \cos^{2} t$ . Determinar la ecuación del movimiento si la masa se libera al inicio con una velocidad de 2 m/s hacia arriba y en un punto que está a 4 metros por debajo de la posición de equilibrio.

Una masa que pesa 4 kg se suspende de un resorte cuya constante es de 3 kg/m. Todo el sistema se sumerge en un líquido que ofrece una fuerza de amortiguamiento numérico igual a la velocidad instantánea. Se aplica una fuerza externa $F (t) = e^{- t}$ . Determinar la ecuación del movimiento si la masa se libera al inicio desde el reposo en un punto que está a 2 metros bajo la posición de equilibrio.

Una masa que pesa 24 kg, unida al extremo de un resorte, alarga a ésta 4 m. Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto a 3 m hacia arriba de la posición de equilibrio. Encontrar la ecuación del movimiento. Además, encontrar la ecuación del movimiento si la masa anterior se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 2 m/s.

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