Tema 7: Sistemas de EDOs

Introducción

Los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) son una herramienta fundamental para modelar fenómenos donde múltiples variables interactúan entre sí. Estos sistemas describen cómo evolucionan en el tiempo varias funciones incógnitas cuyos comportamientos están interconectados.
Ejemplos:

Ecología: Dinámica de poblaciones de especies que compiten o cooperan.
Química: Reacciones químicas con múltiples reactivos y productos acoplados.
Física: Sistemas mecánicos con grados de libertad interdependientes.

Ejemplo
Lotka-Volterra.
Considera un sistema depredador-presa con dos poblaciones: presas $x (t)$ y depredadores $y (t)$ . La dinámica se rige por las constantes $a, b, c, d > 0$ , donde:

$a$ : tasa de crecimiento de las presas,
$b$ : tasa de depredación,
$c$ : tasa de muerte de los depredadores,
$d$ : tasa de crecimiento de los depredadores por consumo de presas.

El sistema resultante es:

{\begin{cases} x^{'} (t) = a x (t) - b x (t) y (t), \\ y^{'} (t) = - c y (t) + d x (t) y (t) . \end{cases}

Ejemplo
Considera la interconversión reversible entre dos especies químicas $X$ e $Y$ , con concentraciones $x (t)$ e $y (t)$ , respectivamente. La dinámica se rige por las constantes de velocidad $k_{1}$ y $k_{2}$ para las reacciones $X \to Y$ y $Y \to X$ :

X \underset{k_{2}}{\overset{k_{1}}{⇌}} Y

El sistema resultante es:

{\begin{cases} x^{'} (t) = - k_{1} x (t) + k_{2} y (t), \\ y^{'} (t) = k_{1} x (t) - k_{2} y (t) . \end{cases}

En este tema, nos centraremos en sistemas lineales homogéneos de orden dos con coeficientes constantes, es decir, sistemas de la forma:

{\begin{cases} x^{'} (t) = a x (t) + b y (t), \\ y^{'} (t) = c x (t) + d y (t), \end{cases}

donde $a, b, c, d$ son constantes.

Sistemas homogéneos: forma general

Un sistema de EDOs lineales homogéneo de orden 2 con coeficientes constantes se puede escribir en la forma:

X^{'} = A X

donde:

$X = (\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix})$ es el vector de funciones incógnita.
$A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ es una matriz constante.

La solución depende de los autovalores ( $λ$ ) y autovectores ( $v$ ) de $A$ .

Caso 1: matriz diagonalizable (autovalores reales y distintos)

Autovalores: $λ_{1} \neq λ_{2}$ (reales).
Autovectores: $v_{1}$ y $v_{2}$ asociados a $λ_{1}$ y $λ_{2}$ .
Solución General: $X (t) = C_{1} e^{λ_{1} t} v_{1} + C_{2} e^{λ_{2} t} v_{2}$ Ejemplo:
Si $A = (\begin{matrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ , con $λ_{1} = 2$ , $λ_{2} = - 2$ , y autovectores $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix})$ , entonces: $X (t) = C_{1} e^{2 t} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + C_{2} e^{- 2 t} (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix}) .$

Caso 2: autovalores complejos

Autovalores: $λ = α \pm i β$ .
Autovector: $v = u \pm i w$ , donde $u$ y $w$ son vectores reales.
Solución General: $X (t) = e^{α t} (C_{1} (u \cos (β t) - w \sin (β t)) + C_{2} (w \cos (β t) + u \sin (β t)))$ Ejemplo:
Si $A = (\begin{matrix} 4 & 4 \\ - 1 & 4 \end{matrix})$ , con $λ = 4 \pm 2 i$ y autovector $(\begin{matrix} 1 \\ \frac{i}{2} \end{matrix})$ , entonces $u = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ , $w = (\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{matrix})$ . La solución es: $X (t) = e^{4 t} (C_{1} (\begin{matrix} \cos (2 t) \\ - \frac{1}{2} \sin (2 t) \end{matrix}) + C_{2} (\begin{matrix} \sin (2 t) \\ \frac{1}{2} \cos (2 t) \end{matrix})) .$

Caso 3: autovalores reales repetidos (deficiente)

Autovalor: $λ$ (doble) con un solo autovector linealmente independiente $v$ .
Autovector Generalizado: Resolver $(A - λ I) w = v$ para encontrar $w$ .
Solución General: $X (t) = C_{1} e^{λ t} v + C_{2} e^{λ t} (t v + w)$ Ejemplo:
Si $A = (\begin{matrix} 3 & 4 \\ - 1 & 7 \end{matrix})$ , con $λ = 5$ (doble) y autovector $v = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{2} \end{matrix})$ , se busca $w$ tal que $(A - 5 I) w = v$ . La solución es: $X (t) = C_{1} e^{5 t} (\begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + C_{2} e^{5 t} (t (\begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} \frac{3}{2} \\ 1 \end{matrix})) .$

Resumen

Caso	Condición	Método de Solución
Diagonalizable	$λ_{1} \neq λ_{2}$	Autovalores y autovectores.
Autovalor deficiente	$λ$ repetido, 1 autovector	Autovector generalizado.
Autovalores complejos	$λ = α \pm i β$	Partes real e imaginaria del autovector.

Caso no homogéneo: variación de constantes

Si tenemos un sistema lineal no homogéneo con coeficientes constantes:

X^{'} (t) = A X (t) + F (t),

donde $F (t)$ es un vector función conocido, la solución general se escribe como:

X (t) = X_{h} (t) + X_{p} (t),

donde:

$X_{h} (t)$ es la solución general del sistema homogéneo $X^{'} = A X$ ,
$X_{p} (t)$ es una solución particular del sistema completo.

Usaremos el método de variación de constantes:
Teorema. Sea $Φ (x)$ una matriz fundamental del sistema lineal homogéneo

X^{'} = A X,

entonces una solución particular del sistema no homogéneo

X^{'} = A X + F (t),

está dada por

X_{p} (t) = Φ (t) \int Φ^{- 1} (t) F (t) d t .

$◼$

Ejemplo
Sea el sistema:

X^{'} (t) = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix}) X (t) + (\begin{matrix} t \\ 1 \end{matrix}) .

1. Sistema homogéneo:

X^{'} (t) = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix}) X (t)

Matriz $A$ :

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix})

Autovalores:
La matriz es triangular superior, así que los autovalores son directamente los elementos de la diagonal:

λ_{1} = 2, λ_{2} = 3

Vectores propios:

Para $λ_{1} = 2$ :

(A - 2 I) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow y = 0 \Rightarrow v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

Para $λ_{2} = 3$ :

(A - 3 I) = (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \Rightarrow x = y \Rightarrow v_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Solución general del sistema homogéneo:

X_{h} (t) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) e^{2 t} + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{3 t}

2. Solución particular (Variación de constantes)
La matriz fundamental construida con las soluciones del sistema homogéneo es:

Φ (t) = (\begin{matrix} e^{2 t} & e^{3 t} \\ 0 & e^{3 t} \end{matrix})

Inversa de $Φ (t)$ :

Φ^{- 1} (t) = (\begin{matrix} e^{- 2 t} & - e^{- 2 t} \\ 0 & e^{- 3 t} \end{matrix})

Multiplicamos $Φ^{- 1} (t)$ por el término no homogéneo:

Φ^{- 1} (t) (\begin{matrix} t \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} e^{- 2 t} & - e^{- 2 t} \\ 0 & e^{- 3 t} \end{matrix}) (\begin{matrix} t \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} e^{- 2 t} (t - 1) \\ e^{- 3 t} \end{matrix})

Integramos componente a componente:

Para la primera componente:

\int e^{- 2 t} (t - 1) d t = (- \frac{1}{2} t + \frac{1}{4}) e^{- 2 t} + C

Para la segunda:

\int e^{- 3 t} d t = - \frac{1}{3} e^{- 3 t} + C

Multiplicamos por $Φ (t)$ para obtener la solución particular:

X_{p} (t) = Φ (t) \int Φ^{- 1} (t) (\begin{matrix} t \\ 1 \end{matrix}) d t = (\begin{matrix} e^{2 t} & e^{3 t} \\ 0 & e^{3 t} \end{matrix}) (\begin{matrix} (- \frac{1}{2} t + \frac{1}{4}) e^{- 2 t} \\ - \frac{1}{3} e^{- 3 t} \end{matrix})

Solución particular:

X_{p} (t) = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} t - \frac{1}{12} \\ - \frac{1}{3} \end{matrix})

Solución general del sistema:

X (t) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) e^{2 t} + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{3 t} + (\begin{matrix} - \frac{1}{2} t - \frac{1}{12} \\ - \frac{1}{3} \end{matrix}), c_{1}, c_{2} \in R

Ejercicios de la hoja.

Ejercicio 4a
Determinar la solución general del sistema diferencial:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 2 x + 2 y \\ \frac{d y}{d t} = x + 3 y \end{cases}

La solución general es:

Y (t) = c_{1} (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix}) e^{t} + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{4 t}

Ejercicio 4b
Determinar la solución general del sistema:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = - 2 x + 2 y \\ \frac{d y}{d t} = 8 x - 2 y \end{cases}

La solución general es:

Y (t) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) e^{2 t} + c_{2} (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}) e^{- 6 t}

Ejercicio 5c
Determinar la solución general del sistema:

Y^{'} = (\begin{matrix} 12 & - 9 \\ 4 & 0 \end{matrix}) Y

La solución general es:

Y (t) = c_{1} (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) e^{6 t} + c_{2} (\begin{matrix} 2 + 3 t \\ 1 + 2 t \end{matrix}) e^{6 t}

Ejercicio 6a
Determinar la solución general del sistema:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = x + y \\ \frac{d y}{d t} = - 2 x + y \end{cases}

La solución general es:

Y (t) = c_{1} (\begin{matrix} \cos (\sqrt{2} t) \\ - \sqrt{2} \sin (\sqrt{2} t) \end{matrix}) e^{t} + c_{2} (\begin{matrix} \sin (\sqrt{2} t) \\ \sqrt{2} \cos (\sqrt{2} t) \end{matrix}) e^{t}

Ejercicio 6b
Determinar la solución general del sistema:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 4 x + 5 y \\ \frac{d y}{d t} = - 2 x + 6 y \end{cases}

La solución general es:

Y (t) = c_{1} (\begin{matrix} 5 \cos (3 t) \\ \cos (3 t) - 3 \sin (3 t) \end{matrix}) e^{5 t} + c_{2} (\begin{matrix} 5 \sin (3 t) \\ 3 \cos (3 t) + \sin (3 t) \end{matrix}) e^{5 t}

Ejercicio 7
Resolver el problema con condición inicial:

Y^{'} = (\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{matrix}) Y, Y (0) = (\begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix})

La solución es:

Y (t) = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) e^{t / 2} + (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}) e^{- t / 2}

Ejercicio 9
Calcular la solución general del siguiente sistema:

Y^{'} = (\begin{matrix} - 3 & 1 \\ 2 & - 4 \end{matrix}) Y + (\begin{matrix} 3 \\ e^{- t} \end{matrix})

Solución:
Se resuelve en dos partes:
1. Sistema homogéneo asociado:

Y^{'} = (\begin{matrix} - 3 & 1 \\ 2 & - 4 \end{matrix}) Y

Los autovalores son $λ_{1} = - 5$ , $λ_{2} = - 2$ , con vectores propios:

V_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix}), V_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Solución homogénea:

Y_{h} (t) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix}) e^{- 5 t} + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{- 2 t}

2. Solución particular (variación de constantes):

Φ (t) = (\begin{matrix} e^{- 5 t} & e^{- 2 t} \\ - 2 e^{- 5 t} & e^{- 2 t} \end{matrix}), Φ^{- 1} (t) = (\begin{matrix} \frac{1}{3} e^{5 t} & - \frac{1}{3} e^{5 t} \\ \frac{2}{3} e^{2 t} & \frac{1}{3} e^{2 t} \end{matrix})

Multiplicación e integración dan:

Y_{p} (t) = (\begin{matrix} \frac{6}{5} + \frac{1}{4} e^{- t} \\ \frac{3}{5} + \frac{1}{2} e^{- t} \end{matrix})

Solución general:

Y (t) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix}) e^{- 5 t} + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{- 2 t} + (\begin{matrix} \frac{6}{5} + \frac{1}{4} e^{- t} \\ \frac{3}{5} + \frac{1}{2} e^{- t} \end{matrix})

Ejercicio 10
Calcular la solución general del sistema:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 2 x - y \\ \frac{d y}{d t} = 3 x - 2 y + 4 t \end{cases}

Solución:
1. Sistema homogéneo asociado:

Y^{'} = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 3 & - 2 \end{matrix}) Y

Autovalores: $λ_{1} = - 1$ , $λ_{2} = 1$
Vectores propios:

V_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}), V_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Solución homogénea:

Y_{h} (t) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) e^{- t} + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{t}

2. Solución particular (variación de constantes):

Φ (t) = (\begin{matrix} e^{- t} & e^{t} \\ 3 e^{- t} & e^{t} \end{matrix}), Φ^{- 1} (t) = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} e^{t} & \frac{1}{2} e^{t} \\ \frac{3}{2} e^{- t} & - \frac{1}{2} e^{- t} \end{matrix})

Multiplicando por el vector $F$ y luego integrando:

Φ^{- 1} (t) (\begin{matrix} 0 \\ 4 t \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 t e^{t} \\ - 2 t e^{- t} \end{matrix}) \Rightarrow \int Φ^{- 1} (t) (\begin{matrix} 0 \\ 4 t \end{matrix}) d t = (\begin{matrix} 2 t e^{t} - 2 e^{t} \\ 2 t e^{- t} + 2 e^{- t} \end{matrix})

\Rightarrow Y_{p} (t) = Φ (t) (\begin{matrix} 2 t e^{t} - 2 e^{t} \\ 2 t e^{- t} + 2 e^{- t} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 t \\ 8 t - 4 \end{matrix})

Solución general:

Y (t) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) e^{- t} + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{t} + (\begin{matrix} 4 t \\ 8 t - 4 \end{matrix})

Ejercicios nuevos.

Ejercicio 1
Resolver el siguiente sistema con condición inicial:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 3 x + 4 y \\ \frac{d y}{d t} = - x + 2 y \end{cases}, Y (0) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

Solución:

{\begin{cases} x (t) = e^{\frac{5}{2} t} (\cos (\frac{\sqrt{15}}{2} t) + \frac{1}{\sqrt{15}} \sin (\frac{\sqrt{15}}{2} t)) \\ y (t) = e^{\frac{5}{2} t} (- \frac{2}{\sqrt{15}} \sin (\frac{\sqrt{15}}{2} t)) \end{cases}

Ejercicio 2
Resolver el siguiente sistema con condición inicial:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = - 2 x + y \\ \frac{d y}{d t} = - x - 2 y \end{cases}, Y (0) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

Solución:

{\begin{cases} x (t) = e^{- 2 t} \sin (t) \\ y (t) = e^{- 2 t} \cos (t) \end{cases}

Ejercicio 3
Resolver el siguiente sistema con condición inicial:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 5 x - 3 y \\ \frac{d y}{d t} = 2 x + y \end{cases}, Y (0) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})

Solución:

{\begin{cases} x (t) = e^{3 t} (2 \cos (\sqrt{2} t) + \frac{7 \sqrt{2}}{2} \sin (\sqrt{2} t)) \\ y (t) = e^{3 t} (- \cos (\sqrt{2} t) + 3 \sqrt{2} \sin (\sqrt{2} t)) \end{cases}

Ejercicio 4
Resolver el siguiente sistema con condición inicial:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 4 x + y \\ \frac{d y}{d t} = - 2 x + y \end{cases}, Y (0) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})

Solución:

\begin{aligned} x (t) & = e^{2 t} (- 1 + 3 e^{t}) \\ y (t) & = - e^{2 t} (- 2 + 3 e^{t}) \end{aligned}

Ejercicio 5
Resolver el siguiente sistema con condición inicial:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 5 x - 2 y \\ \frac{d y}{d t} = 4 x + y \end{cases}, Y (0) = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix})

Solución:

\begin{aligned} x (t) & = - 3 e^{3 t} \sin (2 t) \\ y (t) & = 3 e^{3 t} (\cos (2 t) - \sin (2 t)) \end{aligned}

Ejercicio 6
Resolver el siguiente sistema con condición inicial:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 2 x + 5 y \\ \frac{d y}{d t} = - 3 x + y \end{cases}, Y (0) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Solución:

\begin{aligned} x (t) & = \frac{1}{59} e^{\frac{3 t}{2}} (59 \cos (\frac{\sqrt{59} t}{2}) + 11 \sqrt{59} \sin (\frac{\sqrt{59} t}{2})) \\ y (t) & = - \frac{1}{59} e^{\frac{3 t}{2}} (- 59 \cos (\frac{\sqrt{59} t}{2}) + 7 \sqrt{59} \sin (\frac{\sqrt{59} t}{2})) \end{aligned}

Ejercicio 7
Resuelve el PVI:

{\begin{cases} \frac{d x}{d t} = 7 x + y \\ \frac{d y}{d t} = - 4 x + 3 y \end{cases}, \vec{x} (0) = (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \end{matrix})

Solución.
Autovalor doble $λ = 5$ . Autovector $(1, - 2)^{t}$ . Autovector generalizado: $(0, 1)^{t}$ .

\vec{x} (t) = c_{1} e^{5 t} (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix}) + c_{2} (e^{5 t} t (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix}) + e^{5 t} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}))

$c_{1} = 2, c_{2} = - 1$ .

Ejercicio 8
Resuelve el sistema:

{\begin{cases} x^{'} (t) = 2 x (t) + 1 y (t) + 3, \\ y^{'} (t) = 1 x (t) + 2 y (t) + 1. \end{cases}

sabiendo que $x (0) = 1, y (0) = 3$ . Calcula $x (2), y (2)$
Solución ejercicio 8
En forma de matriz:

X^{'} = A X + b, A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}), b = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) .

Solución del homogéneo

det (A - λ I) = | \begin{matrix} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{matrix} | = (2 - λ)^{2} - 1 \Rightarrow λ_{1} = 3, λ_{2} = 1.

For $λ_{1} = 3$ : $(A - 3 I) v = 0$ gives $v_{1} = (1, 1)^{T}$ .
For $λ_{2} = 1$ : gives $v_{2} = (1, - 1)^{T}$ .
Solución de la homogénea:

X_{h} (t) = C_{1} e^{3 t} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) + C_{2} e^{t} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) .

Buscamos ahora solución particular del no homogéneo:

X^{'} = A X + b, A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}), b = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) .

usando

X_{p} (t) = Φ (t) \int Φ (t)^{- 1} F d t,

Calcular $Φ^{- 1} (t)$ .

Φ (t) = (\begin{matrix} e^{3 t} & e^{t} \\ e^{3 t} & - e^{t} \end{matrix}), det Φ = - 2 e^{4 t},

por lo que

Φ^{- 1} (t) = \frac{1}{- 2 e^{4 t}} (\begin{matrix} - e^{t} & - e^{t} \\ - e^{3 t} & e^{3 t} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{2 e^{3 t}} \\ \frac{1}{2 e^{t}} & - \frac{1}{2 e^{t}} \end{matrix}) .

Multiplicar $Φ^{- 1} F$ .

Φ^{- 1} F = (\begin{matrix} \frac{1}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{2 e^{3 t}} \\ \frac{1}{2 e^{t}} & - \frac{1}{2 e^{t}} \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{3 + 1}{2 e^{3 t}} \\ \frac{3 - 1}{2 e^{t}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 e^{- 3 t} \\ e^{- t} \end{matrix}) .

Integrar componente a componente.

\int Φ^{- 1} F d t = \int (\begin{matrix} 2 e^{- 3 t} \\ e^{- t} \end{matrix}) d t = (\begin{matrix} - \frac{2}{3} e^{- 3 t} \\ - e^{- t} \end{matrix}) .

Multiplicar por $Φ$ .

=\Phi(t),
\begin{pmatrix}
-\tfrac{2}{3}e^{-3t}\[6pt]
-,e^{-t}
\end

\begin{pmatrix}
e^{3t}&e^t\[4pt]
e^{3t}&-e^t
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-\tfrac{2}{3}e^{-3t}\[6pt]
-,e^{-t}
\end

\begin{pmatrix}
-,\tfrac{5}{3}\[6pt]
;\tfrac{1}{3}
\end{pmatrix}.

P o r t a n t o, * * u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r * * d e l s i s t e m a e s

{X_p(t)=\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{3}\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.}

S o l u c i ó n g e n e r a l :

\boxed{\mathbf X(t)
= \mathbf X_h(t) + \mathbf X_p
= \underbrace{C_1e^{3t}\begin{pmatrix}1\1\end

C_2e^{t}\begin{pmatrix}1\-1\end{pmatrix}}{\text{homogeno}}
;+;\underbrace{\begin{pmatrix}\tfrac{5}{3}\-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}}{\text{particular}}.}

E n c o m p o n e n t e s :

\boxed{
\begin{aligned}
x(t)&=-\frac{5}{3} ;+;C_1,e^{3t};+;C_2,e^{t},\[6pt]
y(t)&=+\frac{1}{3} ;+;C_1,e^{3t};-;C_2,e^{t},
\end{aligned}
}

A h o r a q u e d a a p l i c a r l o s v a l o r e s i n i c i a l e s

\begin{aligned}
x(0) &= -\frac{5}{3} + C_1 + C_2 = 1 \
y(0) &= \frac{1}{3} + C_1 - C_2 = 3
\end

\begin{aligned}
C_1 + C_2 &= \frac{8}{3} \quad \text{(1)} \
C_1 - C_2 &= \frac{8}{3} \quad \text{(2)}
\end

T e n e m o s $ C_{1} = 8 / 3 $ y $ C_{2} = 0 $ . S u s t i t u i m o s :

\begin{aligned}
x(t) &= -\frac{5}{3} + \frac{8}{3} e^{3t} \
y(t) &= \frac{1}{3} + \frac{8}{3} e^{3t}
\end

Y a h o r a p o r f i n

\begin{aligned}
x(2) &\approx \frac{8}{3} \cdot 403.429 - \frac{5}{3} \approx 1075.811, \
y(2) &\approx \frac{8}{3} \cdot 403.429 + \frac{1}{3} \approx 1081.478
\end

[[06 A P U N T E S / Q u í m i c a - M a t e m á t i c a s I I - Í n d i c e ∥ V o l v e r a l t e m a r i o]] .

Tema 7: Sistemas de EDOs

Introducción

Sistemas homogéneos: forma general

Caso 1: matriz diagonalizable (autovalores reales y distintos)

Caso 2: autovalores complejos

Caso 3: autovalores reales repetidos (deficiente)

Resumen

Caso no homogéneo: variación de constantes

Ejercicios de la hoja.

Ejercicios nuevos.

=\Phi(t), \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{3}e^{-3t}\[6pt] -,e^{-t} \end

\begin{pmatrix} e^{3t}&e^t\[4pt] e^{3t}&-e^t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{3}e^{-3t}\[6pt] -,e^{-t} \end

=\Phi(t),
\begin{pmatrix}
-\tfrac{2}{3}e^{-3t}\[6pt]
-,e^{-t}
\end

\begin{pmatrix}
e^{3t}&e^t\[4pt]
e^{3t}&-e^t
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-\tfrac{2}{3}e^{-3t}\[6pt]
-,e^{-t}
\end