Ejercicios

1. Calcular:

   a. $\frac{(3-2i)(2+3i)}{3-4i}$

   b. $(1+4i{)}^3$

   c. $(1+i{)}^4$

   d. $\frac{(4i+2{)}^2}{1-i}$

   e. $\frac{(1+2i)(2-i)}{(1+i)(2+i)}$

   f. $(1+4i)(1+2i)$

   g. $\frac{z_1{z}_2{z}_3{z}_4}{z_1+z_2+z_3+z_4}$, siendo $z_1=i$, $z_2=-i$, $z_3=2$, $z_4=1-i$

2. Calcular el módulo y el argumento de los siguientes números complejos:

   a. $z=-\sqrt{3}+i$

   b. $z=-1-i$

   c. $z=-7i$

   d. $z=1+\sqrt{3}i$

   e. $z=-1+i$

   f. $z=\sqrt{2}-\sqrt{2}i$

   g. $z=-\sqrt{2}-\sqrt{2}i$

   h. $z=-1+3i$

   i. $z=-\sqrt{2}-3i$

   j. $z=-2+i$

   k. $z=-3+2i$

3. Calcular los siguientes límites:

   a. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-2x^3-5x+6}{x^2+2x-8}$

   b. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-7x^3+3x-6}{x^2+5x-4}$

   c. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^4-3x+2}{x^4+2x-8}$

   d. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+6}{x^2+2x-8}$

   e. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3+x+1}{x^4+5x-4}$

   f. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^4-3x+2}{x^4+2x^2+x-8}$

   g. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x^5+x+7}{x^4+2x^2-8x+1}$

   h. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3-6}{x^4+x^2}$

   i. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-3x+2}{x^3+2x^2-8}$

4. Calcula para la siguiente función:

   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{x^2-1}& \text{si }x<1\\ \frac{3x}{x-3}& \text{si }x\ge 1\end{array}$$

   $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)$, $\underset{x\to -1}{lim}f(x)$, $\underset{x\to 3}{lim}f(x)$, $\underset{x\to 0}{lim}f(x)$, $\underset{x\to 1}{lim}f(x)$

5. Calcula para la siguiente función:

   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{x^2-4}& \text{si }x<0\\ 3x-9& \text{si }0\le x<2\\ 3& \text{si }x>2\end{array}$$

   $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)$, $\underset{x\to 0}{lim}f(x)$, $\underset{x\to 2}{lim}f(x)$, $\underset{x\to 1}{lim}f(x)$

6. Calcula los siguientes límites:

   a. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{1}{x}{)}^{x^2}$

   b. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2x+1}{2x-3}{)}^{3x}$

   c. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x^2+1}{x^2-3}{)}^{3x^2}$

7. Calcula los siguientes límites:

   a. $\underset{x\to 1}{lim}\frac{5x^2-6x+1}{x-1}$

   b. $\underset{x\to -2}{lim}\frac{x^2-4}{x^2+2x}$

   c. $\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-4}{x^2-2x}$

   d. $\underset{x\to -2}{lim}\frac{2x^2+x-6}{x^2-4}$

   e. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x^2+6x}{3x^2}$

   f. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^3-4x}{5x^2-3x}$

   g. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x+6}{3x}$

   h. $\underset{x\to 2}{lim}\frac{2x^3-4x^2+4x-8}{x^3-4x}$

   i. $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^3-2x^2-9}$

8. Calcula los siguientes límites:

   a. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2x^3+3}{3x}-\frac{4x-5}{2})$

   b. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2x^2+3}{3x^2}-\frac{2x-5}{3x})$

   c. $\underset{x\to 3}{lim}(\frac{2x-6}{x^2}\cdot \frac{2x^3-5}{3x^2+5})$

   d. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2x-6}{x^2}/\frac{2x^3-5}{3x^4+5})$

   e. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2-5}}{x-2}$

   f. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2-2}-x}{2}$

   g. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{x+1}}$

   h. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2-2}}{x^2-3}$

   i. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{\sqrt{x^2-4x}-x}$

9. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

   a.

   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+4& \text{si }x<1\\ 2x-1& \text{si }x\ge 1\end{array}$$

   b.

   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+4& \text{si }x<1\\ 2x+1& \text{si }x\ge 1\end{array}$$

   c.

   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2-3x& \text{si }x<0\\ -2x+1& \text{si }x\ge 0\end{array}$$

   d.

   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1& \text{si }x<-1\\ x^2-x-2& \text{si }x\ge -1\end{array}$$

   e.

   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2& \text{si }x<0\\ \frac{1}{x-1}& \text{si }0\le x<2\\ 2x+2& \text{si }x\ge 2\end{array}$$

   f.

   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2& \text{si }x<1\\ 3& \text{si }x=1\\ 2x+2& \text{si }x>1\end{array}$$

   g. $f(x)=\frac{x^2-2x}{x^2-4}$

   h. $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}$

   i. $f(x)=\frac{x^2+5x}{x^2+x+1}$

   j. $f(x)=\frac{x^2-2x}{x^2-4x+4}$

   k. $f(x)=\frac{x^2+2x}{2x-4}$

   l. $f(x)=\frac{x^2-2x}{x^2+x+1}$

10. Determinar las tangentes de los ángulos que forman con el eje positivo de las x las líneas tangentes a la curva $y=x^3$ cuando $x=1/2$ y $x=-1$, construir la gráfica y representar las líneas tangentes.

11. Determinar las tangentes de los ángulos que forman con el eje positivo de las x las líneas tangentes a la curva $y=1/x$ cuando $x=1/2$ y $x=1$, construir la gráfica y representar las líneas tangentes.

12. Hallar la derivada de la función $y=x^4+3x^2-6$.

13. Hallar la derivada de la función $y=6x^3-x^2$.

14. Hallar la derivada de la función $y=\frac{x^5}{a+b}-\frac{x^2}{a-b}$.

15. Hallar la derivada de la función $y=\frac{x^3-x^2+1}{5}$.

16. Hallar la derivada de la función $y=2a{x}^3-\frac{x^2}{b}+c$.

17. Hallar la derivada de la función $y=6x^{\frac{7}{2}}+4x^{\frac{5}{2}}+2x$.

18. Hallar la derivada de la función $y=\sqrt{3x}+\sqrt[3]{x}+\frac{1}{x}$.

19. Hallar la derivada de la función $y=\frac{(x+1{)}^3}{x^{\frac{3}{2}}}$.

20. Hallar la derivada de la función $y=\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt{x}+5$.

21. Hallar la derivada de la función $y=\frac{a{x}^2}{\sqrt[3]{x}}+\frac{b}{x\sqrt{x}}-\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}$.

22. Hallar la derivada de la función $y=(1+4x^3)(1+2x^2)$.

23. Hallar la derivada de la función $y=x(2x-1)(3x+2)$.

24. Hallar la derivada de la función $y=(2x-1)(x^2-6x+3)$.

25. Hallar la derivada de la función $y=\frac{2x^4}{b^2-x^2}$.

26. Hallar la derivada de la función $y=\frac{a-x}{a+x}$.

27. Hallar la derivada de la función $f(t)=\frac{t^3}{1+t^2}$.

28. Hallar la derivada de la función $f(s)=\frac{(s+4{)}^2}{s+3}$.

29. Hallar la derivada de la función $y=\frac{x^3+1}{x^2-x-2}$.

30. Hallar la derivada de la función $y=(2x^2-3{)}^2$.

31. Hallar la derivada de la función $y=(x^2+a^2{)}^5$.

32. Hallar la derivada de la función $y=\sqrt{x^2+a^2}$.

33. Hallar la derivada de la función $y=(a+x)\sqrt{a-x}$.

34. Hallar la derivada de la función $y=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$.

35. Hallar la derivada de la función $y=\frac{2x^2-1}{x\sqrt{1+x^2}}$.

36. Hallar la derivada de la función $y=\sqrt[3]{x^2+x+1}$.

37. Hallar la derivada de la función $y=(1+\sqrt[3]{x}{)}^3$.

38. Hallar la derivada de la función $y={\sin }^{2}x$.

39. Hallar la derivada de la función $y=2\sin x+\cos 3x$.

40. Hallar la derivada de la función $y=\tan (ax+b)$.

41. Hallar la derivada de la función $y=\frac{\sin x}{1+\cos x}$.

42. Hallar la derivada de la función $y=\sin 2x\cos 3x$.

43. Hallar la derivada de la función $y={\cot }^{2}5x$.

44. Hallar la derivada de la función $f(t)=t\sin t+\cos t$.

45. Hallar la derivada de la función $f(t)={\sin }^{3}t\cos t$.

    4Gent. Hallar la derivada de la función $y=a\sqrt{\cos 2x}$.

46. Hallar la derivada de la función $y=\frac{1}{2}{\tan }^{2}x$.

47. Hallar la derivada de la función $y=\ln \cos x$.

48. Hallar la derivada de la función $y=\ln \tan x$.

49. Hallar la derivada de la función $y=\ln {\sin }^{2}x$.

50. Hallar la derivada de la función $y=\frac{\tan x-1}{\sec x}$.

51. Hallar la derivada de la función $y=\ln \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$.

52. Hallar la derivada de la función $f(x)=\sin (\ln x)$.

53. Hallar la derivada de la función $f(x)=\tan (\ln x)$.

54. Hallar la derivada de la función $f(x)=\sin (\cos x)$.

55. Hallar la derivada de la función $y=\ln \frac{1+x}{1-x}$.

56. Hallar la derivada de la función $y={\log }_3(x^2-\sin x)$.

57. Hallar la derivada de la función $y=\ln \frac{1+x^2}{1-x^2}$.

58. Hallar la derivada de la función $y=\ln (x^2+x)$.

59. Hallar la derivada de la función $y=\ln (x^3-2x+5)$.

60. Hallar la derivada de la función $y=x\ln x$.

61. Hallar la derivada de la función $y={\ln }^{3}x$.

62. Hallar la derivada de la función $y=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$.

63. Hallar la derivada de la función $y=\ln (\ln x)$.

64. Hallar la derivada de la función $y=e^{4x+5}$.

65. Hallar la derivada de la función $y=a^{x^2}$.

66. Hallar la derivada de la función $y=7^{x^2+2x}$.

67. Hallar la derivada de la función $y=e^x(1-x^2)$.

68. Hallar la derivada de la función $y=\frac{e^x-1}{e^x+1}$.

69. Hallar la derivada de la función $y=e^{\sin x}$.

70. Hallar la derivada de la función $y=a^{\tan nx}$.

71. Hallar la derivada de la función $y=e^{\cos x}\sin x$.

72. Hallar la derivada de la función $y=e^x\ln (\sin x)$.

73. Hallar la derivada de la función $y=x^{\frac{1}{x}}$.

74. Hallar la derivada de la función $y=x^{\ln x}$.

75. Hallar la derivada de la función $y=x^x$.

76. Hallar la derivada de la función $y=e^{x^x}$.

77. Calcular la integral $\int x^{5}dx$.

78. Calcular la integral $\int (x+\sqrt{x})dx$.

79. Calcular la integral $\int (\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}}{4})dx$.

80. Calcular la integral $\int \frac{x^2}{\sqrt{x}}dx$.

81. Calcular la integral $\int (\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x\sqrt{x}}+2)dx$.

82. Calcular la integral $\int \frac{1}{\sqrt[4]{x}}dx$.

83. Calcular la integral $\int e^{5x}dx$.

84. Calcular la integral $\int \cos 5xdx$.

85. Calcular la integral $\int \sin axdx$.

86. Calcular la integral $\int \frac{\ln x}{x}dx$.

87. Calcular la integral $\int \frac{1}{{\sin }^{2}3x}dx$.

88. Calcular la integral $\int \frac{1}{{\cos }^{2}7x}dx$.

89. Calcular la integral $\int \frac{1}{3x-7}dx$.

90. Calcular la integral $\int \frac{1}{1-x}dx$.

91. Calcular la integral $\int \frac{1}{5-2x}dx$.

92. Calcular la integral $\int \tan 2xdx$.

93. Calcular la integral $\int {\sin }^{2}x\cos xdx$.

94. Calcular la integral $\int {\cos }^{3}x\sin xdx$.

95. Calcular la integral $\int x\sqrt{x^2+1}dx$.

96. Calcular la integral $\int \frac{x}{\sqrt{2x^2+3}}dx$.

97. Calcular la integral $\int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}dx$.

98. Calcular la integral $\int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}dx$.

99. Calcular la integral $\int \frac{\tan x}{{\cos }^{2}x}dx$.

100. Calcular la integral $\int \frac{\cot x}{{\sin }^{2}x}dx$.

101. Calcular la integral $\int \frac{\ln (x+1)}{x+1}dx$.

102. Calcular la integral $\int \frac{\cos x}{\sqrt{2\sin x+1}}dx$.

103. Calcular la integral $\int \frac{\sin 2x}{(1+\cos 2x{)}^2}dx$.

104. Calcular la integral $\int \frac{\sin 2x}{\sqrt{1+{\sin }^{2}x}}dx$.

105. Calcular la integral $\int \frac{\sqrt{\tan x+1}}{{\cos }^{2}x}dx$.

106. Calcular la integral $\int \frac{{\ln }^{2}x}{x}dx$.

107. Calcular la integral $\int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx$.

108. Calcular la integral $\int \frac{x}{x^2+1}dx$.

109. Calcular la integral $\int \frac{x+1}{x^2+2x+3}dx$.

110. Calcular la integral $\int e^{2x}dx$.

111. Calcular la integral $\int e^{x}dx$.

112. Calcular la integral $\int e^{\sin x}\cos xdx$.

113. Calcular la integral $\int 3^x{e}^{x}dx$.

114. Calcular la integral $\int e^{-3x}dx$.

115. Calcular la integral $\int e^{x^2+4x+3}(x+2)dx$.

116. Calcular la integral $\int \frac{1}{1+2x^2}dx$.

117. Calcular la integral $\int \frac{1}{\sqrt{1-3x^2}}dx$.

118. Calcular la integral $\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx$.

119. Calcular la integral $\int \frac{1}{4+x^2}dx$.

120. Calcular la integral $\int x{e}^{x^2}dx$.

121. Calcular la integral $\int \ln xdx$.

122. Calcular la integral $\int x^2{e}^{3x}dx$.

123. Calcular la integral $\int x^2{e}^{-x}dx$.

124. Calcular la integral $\int x\sin xdx$.

125. Calcular la integral $\int x^2\cos (2x)dx$.

126. Calcular la integral $\int e^x\sin xdx$.

127. Calcular la integral $\int x^3{e}^{x^2}dx$.

128. Hallar la derivada de las siguientes funciones:
     a. $y=3x^3-5x^2+6x-2$
     b. $y=(3x^2-1)(4x^3+2)$
     c. $y=3x^2+4e^x-5\ln x-6\cos x+10\sin x$
     d. $y=4x^2+(3x^2-2x)(4x^3+2)$

129. Calcular la derivada de las siguientes funciones:
     a. $y=\frac{x^2-2}{x^2-9}$
     b. $y=\frac{3x^2}{x^2-4}$
     c. $y=\frac{2x^2}{x-4}$
     d. $y=\frac{3x^2}{2x^2+4}$
     e. $y=\frac{3x^3}{x^2-1}$
     f. $y=\frac{3x^2}{x^2-3x}$
     g. $y=\frac{2x^2-1}{2x^2}$
     h. $y=\frac{2x^2-1}{x}$

130. Calcular la derivada de las siguientes funciones:
     a. $y=(3x^2-1{)}^3$
     b. $y=\sqrt{2x^3+3}$
     c. $y=x^2{e}^{3x}$
     d. $y=\ln (x^2+1)$
     e. $y=x\sqrt{2x+3}$
     f. $y=\sin (x^2-3)\ln (x^3+1)$
     g. $y=\frac{2x^2-1}{2e^{3x}}$
     h. $y=\sin (x^2+3)\tan (e^x)$

131. Calcular los extremos relativos de las siguientes funciones:
     a. $f(x)=\frac{x^2}{x+2}$
     b. $f(x)=x^3-15x^2+72x+8$
     c. $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+2}$
     d. $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x^2}$

132. Calcular las siguientes integrales:
     a. $\int \sqrt[3]{x^2}dx$
     b. $\int \frac{1}{x^2}dx$
     c. $\int (3x^2+5x+3+\frac{2x+7}{x^2})dx$

133. Calcula las siguientes integrales por sustitución o cambio de variables:
     a. $\int \frac{1+\ln x}{x}dx$
     b. $\int \frac{e^x}{1+e^x}dx$
     c. $\int e^{4x}dx$
     d. $\int \frac{\sin x}{1+\cos x}dx$
     e. $\int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx$
     f. $\int \frac{x^3}{1+x^4}dx$

134. Calcula las siguientes integrales por partes:
     a. $\int x{e}^{x}dx$
     b. $\int x^4\ln xdx$
     c. $\int (x^2-1)\cos (2x)dx$
     d. $\int e^x\sin (3x)dx$
     e. $\int \ln xdx$
     f. $\int x^3\ln (3x)dx$

135. Calcula las siguientes integrales de funciones racionales:
     a. $\int \frac{2}{x^2-1}dx$
     b. $\int \frac{5x-4}{x^2-x-2}dx$
     c. $\int \frac{5x^2-5x+2}{x^3-x^2-x+1}dx$
     d. $\int \frac{2x^3+3x+3}{x^3+2x^2+x+2}dx$
     e. $\int \frac{x+2}{x^3-x^2+2x-2}dx$
     f. $\int \frac{x+2}{x^2+1}dx$

136. Calcula las siguientes integrales:
     a. $\int (x^3-2)e^{x}dx$
     b. $\int \frac{dx}{x\ln x}$
     c. $\int \frac{e^x}{1+e^{2x}}dx$
     d. $\int \frac{2x^2+3x-1}{x^3+5x^2+7x+3}dx$
     e. $\int {\cos }^3(x)dx$
     f. $\int (x^3+2x+1)\ln xdx$
     g. $\int \frac{1-(\ln x{)}^2}{x}dx$
     h. $\int \frac{x^2}{1+x^3}dx$
     i. $\int \frac{x^2-3x+4}{x^3-3x^2+3x-1}dx$

137. Calcular las integrales:
     a. ${\int }_1^2(x^2-2x+3)dx$
     b. ${\int }_0^8(\sqrt{2x}+\sqrt[3]{x})dx$
     c. ${\int }_0^1\frac{x}{x^2+3x+2}dx$
     d. ${\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\tan xdx$
     e. ${\int }_1^4\frac{1+\sqrt{x}}{x^2}dx$
     f. ${\int }_e^{e^2}\frac{dx}{x\ln x}$

138. Calcular el área de la figura limitada por la parábola $y=4x-x^2$ y el eje de abcisas.

139. Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas $y=x^2$, $y=\frac{x^2}{2}$ y la recta $y=2x$.

140. Calcular el área del segmento de parábola $y=x^2$, que corta a la recta $y=4-\frac{2}{3}{x}^2$.