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Tema 2: Cálculo diferencial en varias variables

• 0. Introducción
• 1. Dominio de Funciones
• 2. Derivadas Parciales y Diferenciabilidad
• 3. Derivadas Direccionales, Gradiente y Regla de la Cadena
• 4. Plano Tangente y Recta Normal
• 5. Optimización de Funciones

0. Introducción

Varias variables en varias variables:

Ejemplos:

• Para cada punto de un mapa $(x,y)$ podemos dar su temperatura $T$: $$(x,y) \mapsto T(x,y)$$
• Para cada punto de un mapa $(x,y)$ podemos dar la velocidad del viento $v_1,v_2$: $$(x,y) \mapsto (v_1(x,y),v_2(x,y))$$
• Para cada valor de tiempo $t$ podemos dar un punto de un mapa $(x,y)$: $$t\mapsto (x(t),y(t))$$

1. Dominio de Funciones

El dominio de una función $f$ de varias variables, $Dom(f)$, es el conjunto de puntos $(x,y,\dots )$ del espacio ${\mathbb{R}}^n$ para los cuales la función está definida.

Para hallar el dominio, debemos identificar las operaciones que tienen restricciones:

1. Denominadores: El denominador no puede ser cero.

   • Si $f(x,y)=\frac{g(x,y)}{h(x,y)}$, se debe cumplir $h(x,y)\ne 0$.

2. Raíces Cuadradas (y de índice par): El argumento de la raíz (radicando) no puede ser negativo.

   • Si $f(x,y)=\sqrt{g(x,y)}$, se debe cumplir $g(x,y)\ge 0$.

3. Logaritmos: El argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo.

   • Si $f(x,y)=\log (g(x,y))$, se debe cumplir $g(x,y)>0$.

4. Funciones Trigonométricas Inversas: (Como $arcsin,arccos$) sus argumentos están restringidos a $[-1,1]$.

Nota: Funciones como polinomios, $e^{g(x,y)}$, $\sin (g(x,y))$ y $\cos (g(x,y))$ están definidas siempre que su argumento $g(x,y)$ lo esté.

2. Derivadas Parciales y Diferenciabilidad

En varias variables existen la correspondientes nociones de límite y de continuidad. Dado su dificultad técnica no serán tratadas aquí, sino que nos ocuparemos directamente de la generalización del concepto de derivada.

Derivadas Parciales

La derivada parcial de $f(x,y)$ con respecto a $x$ en un punto $(a,b)$ se calcula tratando $y$ como una constante y derivando con respecto a $x$. Se denota $\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$ o $f_x(a,b)$.

• Cálculo práctico:
  • Para hallar $\frac{\partial f}{\partial x}$, deriva $f$ con respecto a $x$ tratando $y$ como una constante.
  • Para hallar $\frac{\partial f}{\partial y}$, deriva $f$ con respecto a $y$ tratando $x$ como una constante.

Diferenciabilidad

Una función $f$ es diferenciable en un punto $P_0=(a,b)$ si sus derivadas parciales existen en $P_0$ y hay una buena aproximación de orden 1 de la función cerca de $P_0$

Ejemplo:
Sea la función $f(x,y)=x^2+y^3-5$ en el punto $P_0=(1,3)$.

1. Calculamos el valor de la función en el punto:
   $f(1,3)=(1{)}^2+(3{)}^3-5=1+27-5=23$

2. Calculamos las derivadas parciales:

• $\frac{\partial f}{\partial x}=2x$ (tratando $y^3-5$ como una constante)
• $\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2$ (tratando $x^2-5$ como una constante)

3. Evaluamos las derivadas parciales en el punto $(1,3)$:

• $\frac{\partial f}{\partial x}(1,3)=2(1)=2$
• $\frac{\partial f}{\partial y}(1,3)=3(3{)}^2=3\cdot 9=27$

4. Construimos la aproximación lineal $P_f$ (plano tangente):
   Usando la fórmula $P_f(x,y)=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b)$:

de donde

Condición Suficiente de Diferenciabilidad (Criterio práctico):
Si las derivadas parciales $\frac{\partial f}{\partial x}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ existen y son continuas en un entorno (una región abierta) alrededor de un punto $(a,b)$, entonces $f$ es diferenciable en $(a,b)$.

Ejemplo: En el ejemplo anterior, dado que las derivadas parciales $f_x=2x$ y $f_y=3y^2$ son continuas en todo ${\mathbb{R}}^2$, la función $f$ es diferenciable en todos sus puntos, incluido el $(1,3)$.

Relaciones importantes:

• Diferenciable $⟹$ Continua.
• Diferenciable $⟹$ Existen todas las derivadas parciales.
• El contrario no es cierto: que existan las derivadas parciales no implica diferenciabilidad

3. Derivadas Direccionales, Gradiente y Regla de la Cadena

Vector Gradiente

El vector gradiente de una función $f$ en un punto $P$, denotado $\mathrm{\nabla }f(P)$, es el vector de sus derivadas parciales.

• Para $f(x,y)$: $\mathrm{\nabla }f(x,y)=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$
• Para $f(x,y,z)$: $\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$

Derivada Direccional

La derivada direccional de $f$ en un punto $P$ en la dirección de un vector unitario $\overrightarrow{u}$ mide la tasa de cambio de $f$ en esa dirección.
Cálculo:

(Es el producto escalar del gradiente por el vector unitario).

¡Importante! El vector de dirección $\overrightarrow{u}$ debe ser unitario ($\parallel \overrightarrow{u}\parallel =1$). Si te dan una dirección $\overrightarrow{v}$ que no es unitaria (como en el Problema 4.2), primero debes normalizarla:

donde $\parallel \overrightarrow{v}\parallel =\sqrt{v_1^2+v_2^2+\dots }$

Propiedades del Gradiente

El gradiente $\mathrm{\nabla }f(P)$ nos da información clave sobre el cambio de $f$ en el punto $P$:

1. Máximo Crecimiento: La dirección de máximo crecimiento (o "máxima pendiente") de $f$ es la dirección del propio vector gradiente, $\mathrm{\nabla }f(P)$.
   • La tasa de ese crecimiento (la derivada direccional máxima) es la norma del gradiente, $\parallel \mathrm{\nabla }f(P)\parallel$.
2. Máximo Decrecimiento: La dirección de máximo decrecimiento de $f$ es la opuesta al gradiente, $-\mathrm{\nabla }f(P)$.
   • La tasa de ese decrecimiento es $-\parallel \mathrm{\nabla }f(P)\parallel$.
3. Sin Cambio: La derivada direccional es cero en cualquier dirección perpendicular a $\mathrm{\nabla }f(P)$.

Regla de la Cadena

Se usa cuando las variables de una función dependen de otras.
Caso 1 (Problema 4.8): $z=f(u,v)$ donde $u=u(x,y)$ y $v=v(x,y)$.

Caso 2 (Problema 4.9): $h(t)=f(x(t),y(t),z(t))$.

4. Plano Tangente y Recta Normal

Se usan para aproximar superficies. Hay dos casos comunes:

Caso 1: Gráfica de una función $z=f(x,y)$ en $P_0=(x_0,y_0,z_0)$

• Plano Tangente:

  $z-z_0=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)$

Coincide con la gráfica de la aproximación a $f$, $P_f$, vista anteriormente.

Caso 2: Superficie implícita $F(x,y,z)=k$ en $P_0=(x_0,y_0,z_0)$
(Nota: El Caso 1 es un caso particular de éste si tomamos $F(x,y,z)=f(x,y)-z$ y $k=0$).

1. Calcula el vector gradiente de $F$ en $P_0$:
   $\mathrm{\nabla }F(P_0)=(\frac{\partial F}{\partial x}(P_0),\frac{\partial F}{\partial y}(P_0),\frac{\partial F}{\partial z}(P_0))$
   Este vector es normal (perpendicular) a la superficie en $P_0$.

2. Ecuación del Plano Tangente:
   $\mathrm{\nabla }F(P_0)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0$
   Es decir:
   $\frac{\partial F}{\partial x}(P_0)(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(P_0)(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(P_0)(z-z_0)=0$

3. Ecuación de la Recta Normal (paramétrica):
   $\overrightarrow{r}(t)=(x_0,y_0,z_0)+t\cdot \mathrm{\nabla }F(P_0)$

5. Optimización de Funciones

Extremos Locales (Sin restricciones)

Para hallar los máximos, mínimos o puntos de silla de $f(x,y)$ en una región abierta.

Paso 1: Encontrar Puntos Críticos
Los puntos críticos son los candidatos a ser extremos. Son los puntos $(a,b)$ donde:

(es decir, $\frac{\partial f}{\partial x}=0$ y $\frac{\partial f}{\partial y}=0$), o

Paso 2: Clasificar Puntos Críticos (Criterio de la Segunda Derivada)
Calculamos el Hessiano, $D(x,y)$, en cada punto crítico $(a,b)$.

1. Calcula las segundas derivadas: $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{xy}$.

2. Calcula el determinante de la matriz Hessiana:

es decir,

3. En el punto crítico $(a,b)$:

   • Si $D(a,b)>0$ y $f_{xx}(a,b)>0$ $⟹$ Mínimo Local.

   • Si $D(a,b)>0$ y $f_{xx}(a,b)<0$ $⟹$ Máximo Local.

   • Si $D(a,b)<0$ $⟹$ Punto de Silla.

   • Si $D(a,b)=0$ $⟹$ El criterio no decide.

Extremos Condicionados (Multiplicadores de Lagrange)

Para optimizar $f(x,y)$ sujeto a una restricción (ligadura) $g(x,y)=c$. (También funciona para $f(x,y,z)$ con $g(x,y,z)=c$).

Pasos a seguir:

1. Definir la función Lagrangiana:

2. Construir la Matriz Hessiana Orlada ($\overline{H}$):
   Esta matriz incluye las segundas derivadas de $L$ y las primeras derivadas de la restricción $g$.
   Para 2 variables ($f(x,y)$ con $g(x,y)=c$):

   $$\overline{H}=\left(\begin{array}{ccc}0& g_x& g_y\\ g_x& L_{xx}& L_{xy}\\ g_y& L_{yx}& L_{yy}\end{array}\right)$$

   Donde $g_x=\frac{\partial g}{\partial x}$, $L_{xx}=\frac{{\partial }^{2}L}{\partial x^2}=f_{xx}-\lambda g_{xx}$, $L_{xy}=f_{xy}-\lambda g_{xy}$, etc.

3. Evaluar el Determinante: Se evalúa $det(\overline{H})$ en cada punto candidato $(x_0,y_0,{\lambda }_0)$ que encontraste.

   • Si $det(\overline{H})>0$: El punto es un Máximo Local.
   • Si $det(\overline{H})<0$: El punto es un Mínimo Local.
   • Si $det(\overline{H})=0$: El criterio no concluye.

Extremos Absolutos en Conjuntos Compactos (Cerrados y Acotados)

Para hallar el máximo y mínimo absoluto de una función continua $f$ en una región cerrada y acotada $A$ (como un disco, Problema 5.7).

Método (Teorema de Weierstrass):

1. Interior: Encuentra todos los puntos críticos de $f$ que estén dentro de la región $A$ (usando el método de extremos locales $\mathrm{\nabla }f=0$).

2. Frontera: Encuentra los puntos extremos de $f$ sobre la frontera de $A$. (Esto se hace usando Multiplicadores de Lagrange, donde la frontera es la restricción $g(x,y)=c$).

3. Comparar: Evalúa $f$ en todos los puntos obtenidos en los pasos 1 y 2.

   • El valor más grande es el Máximo Absoluto.

   • El valor más pequeño es el Mínimo Absoluto.

Ejercicios