Tema 3: Cálculo Integral de Varias Variables. Ejercicios.

1. Integrales Dobles

Definición y Cálculo General

Ejercicio 1
Dibuja la región de integración y calcula $\iint_{Ω} f$ en los siguientes casos:
1. $f (x, y) = x \sin y - y e^{x}$ en $Ω = [- 1, 1] \times [0, π / 2]$ .
2. $f (x, y) = x^{2} - y$ en $Ω = {(x, y) \in R^{2} : x \in [- 1, 1], - x^{2} \leq y \leq x^{2}}$ .
3. $f (x, y) = x y - x^{3}$ en $Ω = {(x, y) \in R^{2} : x \in [0, 1], - 1 \leq y \leq x}$ .
4. $f (x, y) = 2 x \sin (x^{2} y)$ en $Ω = {(x, y) \in R^{2} : x \in [0, 2], | y | \leq x}$ .
5. $f (x, y) = y \sin x$ en $Ω = {(x, y) \in R^{2} : | x | + | y | \leq 1}$ .

Teorema de Fubini

Ejercicio 2
Sobre el recinto $Ω = {(x, y) \in R^{2} : x^{2} + (y - 1)^{2} \leq 1, x \geq 0}$ se consideran las funciones:

f (x, y) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y g (x, y) = \sin (y - 1)

Aplica el teorema de Fubini a $\iint_{Ω} f$ y $\iint_{Ω} g$ en las dos ordenaciones posibles. Calcula las integrales en el orden más adecuado.

Cambio de Orden de Integración

Ejercicio 3
Determina el recinto de integración y cambia el orden de integración en las siguientes integrales:
1. $\int_{0}^{3} \int_{4 x / 3}^{\sqrt{25 - x^{2}}} f (x, y) d y d x$
2. $\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} f (x, y) d x d y$
3. $\int_{0}^{π / 2} \int_{- \sin (x / 2)}^{\sin (x / 2)} f (x, y) d y d x$
4. $\int_{0}^{e} \int_{0}^{\log x} f (x, y) d y d x$

Ejercicio 4
Halla el valor de la integral (requiere cambiar el orden):

\int_{0}^{π} \int_{x}^{π} \frac{\sin y}{y} d y d x

Aplicaciones

Ejercicio 5
Calcula las siguientes áreas:
1. Área limitada por las curvas $y = x$ y $y = 2 - x^{2}$ .
2. Área encerrada por las curvas $x y = 4$ , $x y = 8$ , $x y^{3} = 5$ y $x y^{3} = 15$ .

Ejercicio 6
Sea $S$ una región del plano limitada por las curvas que se indican. Calcula la masa y el centro de gravedad de $S$ suponiendo que la densidad es constante e igual a $ρ$ .
1. $y = x^{2}$ , $x + y = 2$ .
2. $y + 3 = x^{2}$ , $x^{2} = 5 - y$ .
3. $y = \sin^{2} x$ , $y = 0$ , $x \in [0, π]$ .
4. $y = \sin x$ , $y = \cos x$ , $x \in [0, π / 4]$ .

Ejercicio 7
Determina las coordenadas del centro de gravedad de la placa:

B = {(x, y) \in R^{2} : 1 \leq x \leq 2, 1 \leq y \leq 3}

cuya densidad viene dada por la función $σ (x, y) = x y$ .

Ejercicio 8
Una placa metálica viene representada por el conjunto del plano:

P = {(x, y) \in R^{2} : | y | \leq 1}

y su densidad es $σ (x, y) = y^{2}$ . Calcula el centro de gravedad y los momentos de inercia con respecto a los ejes.

2. Integrales Triples

Cálculo General

Ejercicio 9
Calcula las siguientes integrales en los recintos que se indican:
1. $∭_{Ω} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d x d y d z$ donde $Ω = [0, 1] \times [0, 1] \times [0, 1]$ .
2. $∭_{Ω} x^{3} d x d y d z$ donde $Ω = [0, 1] \times [0, 1] \times [0, 1]$ .
3. $∭_{Ω} y e^{- x y} d x d y d z$ donde $Ω = [0, 1] \times [0, 1] \times [0, 1]$ .
4. $∭_{Ω} (2 x + 3 y + z) d x d y d z$ donde $Ω = [1, 2] \times [- 1, 1] \times [0, 1]$ .
5. $∭_{Ω} z e^{x + y} d x d y d z$ donde $Ω = [0, 1] \times [0, 1] \times [0, 1]$ .

Ejercicio 10
Calcula la integral $∭_{Ω} x^{2} \cos x d x d y d z$ , donde $Ω$ es la región limitada por los planos:

z = 0, z = π, y = 0, x = 0, x + y = 1

Dibuja la región de integración.

Aplicaciones en Sólidos (3D)

Ejercicio 11
Calcula los siguientes volúmenes:
1. Volumen de la región limitada por $x^{2} + y^{2} \leq 4$ y $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 16$ .
2. Volumen del sólido limitado por los conos $z = 1 - \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ y $z = - 1 + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .
3. Volumen de la región limitada por el paraboloide $z = x^{2} + y^{2}$ y por $x^{2} + y^{2} = 4$ en $z \geq 0$ .
4. Volumen de la región limitada por $x^{2} + y^{2} + z^{2} < 2$ , $x^{2} + y^{2} \leq z$ y $z < 6 / 5$ .
5. Volumen del sólido limitado por el elipsoide $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ . Estudia el caso particular de $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 3$ .

3. Cambio de Variables

Ejercicio 12
Calcula, usando coordenadas polares, la integral de la función $f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ sobre la región $Ω$ definida por el círculo unitario:

Ω = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1}

Ejercicio 13
Evalúa, usando coordenadas polares, la siguiente integral doble:

\iint_{Ω} (x^{2} + y^{2}) d x d y

Donde $Ω$ es la mitad superior del disco de radio 2 (definida por $x^{2} + y^{2} \leq 4$ y $y \geq 0$ ).

Ejercicio 14
Calcula, usando coordenadas polares, la integral de la función exponencial sobre la región anular comprendida entre los círculos de radio 1 y radio 3 ( $1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 9$ ):

\iint_{Ω} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y