Group action

Let $X$ be a set and $G$ a group. A right (left) action of $G$ on $X$ is a map

X \times G ⟶ X

denoted b $(x, g) \mapsto x \cdot g$ , and such that $x \cdot 1 = x$ y $(x \cdot g) \cdot g^{'} = x \cdot (g g^{'})$ for every $x \in X$ and $g, g^{'} \in G$ .

One may equivalently define a group action of $G$ on $X$ as a group homomorphism from $G$ into the symmetric group $S y m (X)$ of all bijections from $X$ to itself.

There is also an interpretation in terms of category theory (see group as a category).

Related notions: subaction and quotient action.

Types

More definitions

En las condiciones de la definición anterior llamamos $G$ -órbita de $x \in X$ al conjunto de puntos $x \cdot g$ para $g \in G$ .
Para un subconjunto $S \subseteq X$ y un elemento $g \in G$ , el conjunto $g$ -trasladado $S g$ es el conjunto de puntos de $X$ de la forma $x = s \cdot g$ , para algún $s \in S$

El conjunto cociente $X / G$ es el conjunto de $G$ -órbitas, y la aplicación $π : X \mapsto X / G$ que envía $x$ a su $G$ -órbita es la aplicación cociente.

If the action is transitive then we only have one orbit, and for any $x \in X$ we have

X \approx G / S t a b_{G} (x)

where $G / S t a b_{G} (x) = {g \cdot S t a b_{G} (x) : g \in G}$ , the set of cosets. In this case we say that $X$ is a homogeneous space.

Sea $X$ un espacio topológico y $G$ un grupo discreto. Una acción derecha de $G$ sobre $X$ es \textit{continua} si para cada $g \in G$ la aplicación $X \mapsto X$ inducida por $g$ es continua (y, por tanto, un homeomorfismo).

Se dice que la acción es propiamente discontinua cuando es continua y cada $x \in X$ admite un entorno $U_{x}$ tal que el $G$ -trasladado $U_{x} \cdot g$ corta a $U_{x}$ sólo para un número finito de elementos de $G$ .

La acciones libres y propiamente discontinuas son importantes porque en espacios $X$ Hausdorff cada $x \in X$ tiene al menos un entorno $U_{x}$ disjunto de cada $U_{x} \cdot g$ para cualquier $g \neq 1$ ({\color{red} hay que demostrarlo}).

Sea $X$ un espacio topológico de Hausdorff equipado con una acción libre y propiamente discontinua por un grupo $G$ . Existe una única topología sobre $X / G$ tal que la aplicación cociente $π \mapsto X / G$ es continua y además un homeomorfismo local. Además, esta aplicación es abierta.

En dicha topología un conjunto $S \subseteq X / G$ es abierto si y sólo si su preimagen en $X$ es abierto. Y si el subconjunto $U \subseteq X$ es un conjunto abierto que es disjunto de $U \cdot g$ para $g \neq 1$ entonces la aplicación $π |_{U} : U \mapsto π (U)$ es un homeomorfismo.

El espacio $X / G$ con esta topología es localmente Hausdorff en general. Podremos afirmar que es Hausdorff en el siguiente caso:

Lemma
En las condiciones de la proposición anterior, el espacio $X / G$ es Hausdorff si y sólo si la imagen de la aplicación

X \times G ⟶ X \times X

es cerrada en $X \times X$ .
$◼$

Una acción de un grupo diremos que es diferenciable cuando los homeomorfismos asociados sean además difeomorfismos

Theorem (Quotient manifold theorem)
Suppose a Lie group $G$ acts smoothly, freely, and properly on a smooth manifold $M$ . Then the orbit space $M / G$ is a topological manifold of dimension $d i m (M) - d i m (G)$ , and has a unique smooth structure with the property that the quotient map $π : M \to M / G$ is a smooth submersion.
$◼$
See @lee2013smooth theorem 7.10 at page 153.

Lie group action

In case $G$ is a Lie group action on a manifold $M$ we have an injection

τ : G ⟼ D i f f (M)

Indeed, $D i f f (M)$ is in some sense like a (infinite dimensional) Lie group, whose Lie algebra is $X (M)$ . This is due to the flow theorem for vector fields.

Given a vector in the Lie algebra $g$ we can consider the fundamental vector field on $M$ . This corresponds to the differential of $τ$ at the identity $e \in G$ :

\begin{aligned} d τ_{e} : g & ⟼ X (M) \\ V & ⟼ (X_{V} : p \mapsto \frac{d}{d t} (p \cdot e^{t V}) |_{t = 0}) \end{aligned}

This is the induced Lie algebra action.