Why do we introduce complex number in QM?

Mi visión: El experimento double slit con luz y el experimento double slit con electrones deja claro que los electrones tienen un comportamiento de onda (aunque sea entre bambalinas). Hay interferencias de un electrón consigo mismo, y se verifican fenómenos de superposición, como las ondas. Los patrones dejados por los electrones son iguales que los dejados por la luz (o por el agua, si hablamos de ondas en un lago). El patrón (unas típicas rayitas verticales) se debe a la distinta intensidad que llega a la placa final, debido a la interferencia de la luz de una rendija con la de otra. La intensidad que llega de una rendija es $I_1=|h_1{|}^2$ y la que llega de la otra es $I_2=|h_2{|}^2$.

Aquí, $h_1$ y $h_2$ son, simplificando, la onda electromagnética que sale de una rendija y de la otra, y se expresan de manera resumida como todas las ondas con un número complejo variable en el tiempo.

Pues bien, la intensidad que llega a un punto de la placa receptora cuando tenemos las dos rendijas no es $I_1+I_2$, sino

$|h_1+h_2{|}^2$

TOMA YA.

Eso es la interferencia, la intensidad no se suma: se suma o se resta dependiendo de una "fase"o mejor dicho un "desfase". Ahí está la naturaleza compleja: no importa sólo el módulo sino el argumento.

Como los electrones son ondas y presentan el mismo fenómeno de interferencia, deben tener por detras una expresión compleja. Ahora lo que obtenemos al elevar al cuadrado no es la ``intensidad'' de una luz, sino la cantidad de electrones que está llegando a un punto de la placa receptora.

Cantidad de electrones= frecuencia de llegada= probabilidad.

Si la luz fuesen partículas la intensidad sería $I=|h_1{|}^2+|h_2{|}^2$, partículas que llegan de una rendija más las qe llegan de otra, y en ese caso no haría falta tratar con números complejos: nos quedamos con los cuadrados y hacemos cuentas con eso. Bueno, asumiendo que estamos lanzando partículas DE UNA EN UNA, porque si tiramos muchas de manera simultánea no veo que esto tenga que ser así, pues una podría chocar con otra (no estoy seguro).

RESUMIENDO: creo que los número complejos son necesarios para explicar la interferencia

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SI NOS CENTRAMOS EN EL CASO MÁS SIMPLE, \textbf{EL DEL SPÍN}, surgen de manera matemática de los experimentos.

I assume you are familiar with the QM formulation and the Stern-Gerlach experiments. A device $S{G}_x$ (Stern-Gerlach aparatus oriented with the $x$ axis) gives us two outputs and we take the first one, which is associated with the eigenstate $|r⟩$ (the other would be $|l⟩$, from left and right), and introduce it in a device $S{G}_z$ and obtain, again, two outputs $|u⟩$ and $|d⟩$, each of them with probability $50\mathrm{\%}$. We express

with $\alpha$ and $\beta$ real values such that

so $\alpha =\beta =\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

If we plug the $|l⟩$ output in the $S{G}_z$ we obtain an analogous expression

with

If we now perform another experiment, but using $S{G}_y$ instead of $S{G}_z$ we get similar expressions

where $b$ and $f$ stand for \textit{backward} and \textit{forward}; and such that

Now we could express $|f⟩$ in the basis $\{|u⟩,|d⟩\}$ and would obtain

But a third experiment in which we plug the $|f⟩$ output of a $S{G}_y$ in $S{G}_z$ would yield a $50\mathrm{\%}$ of probabilities as usual. So it must be, for example,

\bar{\delta}\alpha=\delta \bar{\alpha}=\bar{\delta}\gamma=\delta \bar{\gamma}=\pm\frac{1}

\left|\frac{\bar{\delta}\alpha-\delta \bar{\alpha} }{\bar{\delta}\gamma-\delta \bar{\gamma} }\right|^2\neq1/2